Оглавление­­

Основные понятия и определения сплошной среды.. 3

Сплошная среда. 3

Плотность. 3

Частица сплошной среды.. 3

Кинематика сплошных сред. 3

Метод Лагранжа. 3

Метод Эйлера. 3

Скалярное поле. 3

Градиент. 4

Свойства вектора градиента. 4

Задача №1. 4

Исследование движения сплошной среды. 5

Циркуляция. 5

Линия тока. 5

Свойства линии тока. 6

Трубка тока. 6

Дивергенция. 6

Ротор. 6

Расход сплошной среды через поверхность. 6

Массовый расход. 7

Весовой расход. 7

Определение наличия источников и стоков. 7

Определение параметров вращательного движения. 7

Поток вектора скорости среды через поверхность единичного куба. 8

Задача №2. 10

Исследование деформированного и напряженного состояния в точке абсолютно упругого тела. 12

Постановка задачи. 12

Исследование деформированного состояния в точке абсолютного упругого тела. 12

Задача №4. 14

Исследование напряженного состояния в точке абсолютно-упругого тела. 15

Задача №3. 17

Обобщенный закон Гука. 18

Полная система уравнений теории упругости. 19

Задача №5. 21

Задача №6. 22

Динамика идеальной и вязкой жидкости. 23

Интеграл Бернулли для идеальной жидкости. 24

Уравнение Бернулли в напорах. 26

Режимы течения. Число Рейнольдса. 26

Задача №7. 28

Вязкоупругие жидкости. 29

Модель Максвелла. 30

Задача №8. 32

Модель Фойгта. 33

Задача №9. 34

Модель Кельвина. 35



Основные понятия и определения сплошной среды

Сплошная среда (СС) – это  физическая среда в любом фазовом состоянии (твердое, жидкое, газообразное, плазма и т.д.), в каждой точке которой существует функция плотности — р(х,у,z,t) и ее первая производная. (Пример несплошной среды — кипящая жидкость, т к. существу­ет скачок плотности на границе жидкость-пар пузырька, и первой производной функции плотности не существует.)

 

Плотность ρ(x, y, z, t,) — масса среды в единице объема. Значение плотности среды в окрестности точки неподвижного пространства определим формулой

где Δm — масса среды, заключенная в объеме ΔV в окрестности дан­ной точки.

Плотность среды зависит от температуры

где ρ0 — плотность среды при начальной температуре; Δt — измене­ние температуры; βt — коэффициент температурного расширения

равный относительному увеличению объема среды при повышении температуры на один градус при неизменном давлении. (Например, для воды при 20ºC β1=2·10-4град-1). Плотность среды зависит от давления

где ρ0 — плотность при начальном давлении; ΔР — разность между новым и начальным давлением; βр— коэффициент объемного сжатия , равный относительному уменьшению объема при повышении давления на единицу. Величина, обратная βр, но­сит название модуля упругости

 

Частица сплошной среды — это мысленно выделяемый объем сплошной среды, который бесконечно мал по отношению ко всему объему сплошной среды и бесконечно велик по отношению к раз­мерам атомов сплошной среды.

Для количественного описания механических характеристик сплошной среды необходимо задавать неподвижную систему ко­ординат, масштаб в которой и направление осей задается тремя еди­ничными векторами i — вдоль оси X,  j — вдоль оси Y и k — вдоль оси Z, причем | j | = |j | = | k | = 1. Мы будем использовать Декартову систему координат, в которой единичные вектора i , j , k взаимно перпендикулярны (см. рис. 1.1).

 

Рис. 1.1 Частица сплошной среды

Кинематика сплошных сред

В данном разделе мы будем изучать движение сплошных сред без учета инерционных свойств сплошной среды и причин (сил), вызывающих это движение.

Существуют два исторически сложившихся метода изучения движения сплошных сред. Это методы Лагранжа и Эйлера.

Метод Лагранжа. В этом методе отмечается частица в началь­ный момент движения и исследуется ее движение в пространстве и времени вдоль ее траектории. В качестве метки частицы принима­ются ее координаты в момент времени t = 0, т.е. x0, y0, z0(см. рис. 11). Координаты частицы являются функциями времени.

Фактически переменными Лагранжа мы пользовались при изу­чении теоретической механики, где координаты точки центра масс твердого тела являлись функцией времени при координатном спо­собе задания движения.

Но этот метод оказался неудобен при рассмотрении движения сплошной среды, т.к. для получения представления о движении всей среды необходимо рассматривать движение бесконечного множе­ства частиц, из которых состоит сплошная среда.

 

Метод Эйлера. В этом методе фиксируется не частица, а точка неподвижного пространства (например М(х0, у0, z0)), и исследуют­ся кинематические характеристики движения (скорости, ускоре­ния и т.д.) частиц, пролетающих через эту точку.

Движение в методе Эйлера задается вектор-функцией поля ско­ростей:

V(x,y,z,t)= i Vx(x,y,z,t)+ jVy(x,y,z,t) + kVz(x,y,z,t),         (1.4)

где Vx, Vy , Vz — переменные Эйлера, т.е. функции проекции V на соответствующие оси координат.

Мы, если не будет оговорено особо, будем исследовать стацио­нарные поля скоростей, т.е. не зависящие от времени

Для того чтобы определить вектор скорости частиц сплошной среды, пролетающих через заданную точку пространства, необхо­димо просто подставить координаты этой точки пространства в (1.4). Для построения вектора скорости надо отложить найденные про­екции в выбранном масштабе от данной точки и сложить их.

Очевидно, что вектор-функция (1.4) позволяет определить век­тор скорости в любой точке пространства, где эта функция V су­ществует. Правда, если в методе Лагранжа ускорение частицы оп­ределяется простым дифференцированием функций координат, то в методе Эйлера определение поля ускорений сложнее:

Следует также отметить, что методы Лагранжа и Эйлера экви­валентны, т.е. физический результат не зависит от выбора метода описания сплошной среды.

По аналогии с выше сказанным можно таким же образом задать и другие поля векторных величин. Например поле сил, поле угло­вых скоростей и т.д.

 

Скалярное поле

По аналогии с полем векторных величин возможно задать с по­мощью скалярной функции Ф(x,y,z,t) значения скалярной величи­ны (например: плотность, температура, давление, потенциал поля скоростей и т.д.) в каждой точке неподвижного пространства.

Если функция Ф(х,у,z,t) не зависит от времени, т.е.

    

то такое скалярное поле называется стационарным.

 

Наглядное представление о скалярном поле можно получить, построив в общем случае поверхности равного уровня, т.е. повер­хность, в каждой точке которой значение Ф(х,у,z,t) = С, т.е. какой-либо постоянной величине.

Для построения поверхности равного уровня, проходящей че­рез заданную точку, необходимо подставить координаты этой точ­ки в функцию Ф(х,у,z,t) и определить значение постоянной С. Да­лее приравнять саму функцию этой постоянной

Ф(х,у,z)=С.                                                                      (1.6)

Полученное уравнение (1.6) и есть выражение, описывающее поверхность равного уровня.

Через каждую точку пространства проходит только одна по­верхность равного уровня!

 

В случае задания функции Ф(х,у), т.е. двух переменных, мы по­лучим линию равного уровня. Из физики известны линии равного уровня, например: изотерма, изобара и т.д.

Градиент — вектор, определяющий направление и величину быстрейшего возрастания Ф(х,у,z) в окрестности данной точки. Значение градиента Ф(х,у,z) определяется выражением:

                                                                                                    (1.7)

где — оператор Гамильтона «набла».

Свойства вектора градиента.

1 . Вектор градиента всегда перпендикулярен к касательной плос­кости в точке поверхности равного уровня (или касательной к ли­нии равного уровня в точке).

2. Для построения вектора градиента в данной точке необходи­мо подставить координаты этой точки в вычисленное по формуле ( 1 .7) выражение и в выбранном масштабе отложить проекции век­тора от данной точки, а проекции сложить.

 

Задача №1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследование движения сплошной среды.

Циркуляция

Пусть стационарное движение сплошной среды задано с помо­щью вектор-функции поля скоростей v(x,y,z). Для описания ха­рактеристик движения и графического изображения самого дви­жения необходимо определить приводимые ниже характеристики.

Линия тока — линия, проведенная в движущейся среде, в каж­дой точке которой вектор скорости направлен по касательной к этой линии (см. рис. 2.1).

 

Рис. 2.1

Фактически для частицы, находящейся на линии тока, сама ли­ния будет траекторией этой частицы.

Пусть частица сплошной среды, находящаяся в т. А на линии тока,

за промежуток времени dt прошла путь dl= idx + jdy + kdz . Однако

путь dl можно представить как dI=Vdt т.е.

Два вектора равны, если равны их проекции, т.е.

 

Фактически для частицы, находящейся на линии тока, сама ли­ния будет траекторией этой частицы.

Пусть частица сплошной среды, находящаяся в т. А на линии тока,

за промежуток времени dt прошла путь dl= idx + jdy + kdz . Однако путь dl можно представить как dT=Vdt т.е.

Поскольку промежуток времени dt одинаков, то можно записать, исключив dt:

Полученное выражение (2.3) называют дифференциальным уравнением линии тока.

Разделив переменные в (2.3) и проинтегрировав его, получим общее решение с постоянной интегрирования С. Для нахождения уравнения линии тока, проходящей через данную точку, необходи­мо подставить координаты этой точки в общее решение и опреде­лить численное значение С, после этого записать решение, подста­вив вместо С ее численное значение.

 

 

 

Свойства линии тока

1.             Через каждую точку пространства проходит только одна ли­ния тока, т.е. линии тока не пересекаются.

2.             Для стационарного движения линия тока является траектори­ей частиц, т.е. частица не может перейти с одной линии тока на дру­гую линию.

Трубка тока — часть движущейся сплошной среды, заключен­ной внутри поверхности, образованной линиями тока, проведенны­ми через каждую точку замкнутого контура.

Если замкнутый контур бесконечно мал, то такую конфигура­цию называют струйкой. Следует отметить, что поверхность трубки тока является непро­ницаемой для частиц сплошной среды, т.к. нет составляющих век­тора скорости, направленных перпендикулярно поверхности труб­ки тока.

Дивергенция или расхождение векторного поля скоростей оп­ределяется формулой скалярного произведения:

и определяет наличие или отсутствие источников или стоков в дви­жущейся сплошной среде. Так, если

divV = 0 — отсутствуют источники и стоки;

divV > 0 — имеются источники;                                           (2.5)

divV < 0 — имеются стоки.

Если в результате вычислений по формуле (2.4) получилась фун­кция координат, то, решив неравенства (2.5), можно определить области пространства, где присутствуют источники и стоки.

Ротор или вихрь в данной точке определяет наличие и величину угловой скорости, определяющей вращательную составляющую движения.

Ротор вычисляется по следующей формуле:

Если rotV= 0 — имеет место вращательное движение, имеются вихри;

rotV = 0 — движение безвихревое, отсутствует элемент вра­щательного движения.

Само векторное поле угловых скоростей определяется выражением:

Следует отметить, что если rotV = 0 ,то движение может быть потенциальным, т.е. существует скалярное поле, задаваемое функ­цией Ф(х,у,z), такое, что

gradФ = V.                                                                         (2.8)

Сама функция Ф определяется выражением:

Если найденное выражение по формуле (2.9) удовлетворяет ус­ловию (2.8), то функция Ф является потенциалом поля скоростей. Определение поверхности (линии) равного уровня приведено в лекции 1.

 

Следствие. Линия равного уровня потенциала поля скоростей и линия тока пересекаются в каждой точке под прямым углом. Это следует из формулы (2.8).

 

Расход сплошной среды через поверхность.

Расход Qv сплошной среды через поверхность S при заданном поле скоростей определяется формулой:

где dS — элементарная площадка поверхности S, имеющая вне­шнюю нормаль n (см. рис. 2.2).

Рис. 2.2

 

Выражение (2.10) определяет, согласно размерности, объемный расход сплошной среды

Массовый расход — масса сплошной среды, проходящая через поверхность S за единицу времени:

где ρ — функция плотности сплошной среды.

Весовой расход — вес сплошной среды, проходящей через по­верхность S за единицу времени:

 

где g — ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2.

Для определения расхода сплошной среды через замкнутую по­верхность удобно пользоваться формулой Гаусса-Остроградского:

где V — объем пространства, ограниченный замкнутой поверхнос­тью S.

Для определения потока вихря скорости через некоторую повер­хность сплошной среды необходимо вычислить циркуляцию Г век­тора скорости по замкнутому контуру, используя формулу Стокса:

где S — поверхность, ограниченная замкнутым контуром IABCD (см. рис. 2.2), a dl — элемент замкнутого контура с заданным направле­нием обхода.

 

Определение наличия источников и стоков

Дивергенция вектора скорости, определяющая скорости отно­сительного объемного расширения сплошной среды в точках непод­вижного пространства определяется по формуле:

 векторный оператор дифференцрования «набла».

 

 

Дивергенция скорости для несжимаемой жидкости в каждой точке пространства характеризует при:

div v > 0 — наличие источников,

div v < 0 — наличие стоков,

div v = 0 — отсутствие источников и стоков (соленоидальное поле).

 

Определение параметров вращательного движения

Вращательное движение определяется векторным полем угло­вых скоростей, т.е. ротором поля скоростей. Ротор вычисляется по формуле:

Если, то поле скоростей является вихревым, т.е. не потенциальным.

Если же rot v(f) = 0 во всем пространстве, то поле называется безвихревым.

Вектор-функция поля угловых скоростей На чертеже трубки тока выполняется построение вектора уг­ловой скорости в выбраннном масштабе в точке единичного куба (см. рис. 1.1).

Поток вектора скорости среды через поверхность единичного куба

Поток вектора скорости несжимаемой сплошной среды равен объему сплошной среды, протекающему через поверхность в еди­ницу времени и имеет размерность м3/с.

Поток вектора скорости сплошной среды через замкнутую повер­хность куба определяется по формуле Остроградского — Гаусса:

Для куба с ребром, равным 1, пределы интегрирования по осям берутся от 0 до 1. Если О > 0, то через поверхность куба втекает сплошной среды меньше, чем вытекает. Если О < 0, то через по­верхность куба втекает сплошной среды больше, чем вытекает. Если О = 0, то сколько сплошной среды в куб втекает, столько из него и вытекает.

Потоки Qt через грани единичного куба вычисляются по формуле:

где v — поле скоростей; dSi — вектор элементарной площадки, лежащей в грани, через которую подсчитывается поток сплошной среды.

Вектор dSi определяется по формуле:

где  — вектор единичной внеш­ней нормали к грани, через которую подсчитывался поток сплошной

среды; dS — элементарная площад­ка, лежащая в грани, через которую подсчитывается поток сплошной среды.

Расход через грани ВС^ВД и СВАО будет равен 0, т.к. отсутству­ет проекция скорости на ось Oz.

Если Qf > 0, то сплошная среда вытекает через грань;

если О. < 0, то сплошная среда втекает через грань;

если Qf = 0, то сплошная среда скользит по грани, не пересе­кая ее.

Правильность расчетов проверить по чертежу, а также провес­ти проверку равенства:

то есть суммарный поток сплошной среды через поверхность куба должен быть равен сумме потоков через грани, перпендикулярные плоскости течения.


Задача №2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследование деформированного и напряженного состояния в точке абсолютно упругого тела.

 

Одной из важных моделей сплошной среды является абсолютно-упругое тело Гука, т.е. среда, которая полностью восстанавливает свою форму после снятия внешних нагрузок. Под действием вне­шних сил такое тело деформируется и в нем возникает внутреннее напряжение. Для реальных тел при больших внешних нагрузках возникают такие внутренние напряжения и, соответственно, дефор­мации, при которых начинается разрушение материала. Предель-ные напряжения или допустимые напряжения для различных ма­териалов задаются в справочниках. Поэтому при исследовании ме­ханических характеристик упругих тел под воздействием внешних нагрузок важно уметь определять величины максимальных напря­жений и деформаций.

Постановка задачи

Для абсолютно упругого тела заданы (см. таблицу 2.1):.

1.       Упругие постоянные материала — модуль упругости Е (Н/м2) и коэффициент Пуассона V.

2.       Поле перемещений для любой точки U(x,y,z), V(x,y,z), W(x,y,z) (миллиметры).

3.       Точка М, положение которой задано единичным вектором

   

где I, т, п — направляющие косинусы вектора ОМ или, поскольку

\ОМ\ = 1, координаты точки М.

Необходимо определить деформационное и напряженное состо­яние материала в точке М и графически изобразить деформации и вектор полного напряжения по наклонной площадке. Данные взять из таблицы 2.2.

Исследование деформированного состояния в точке абсолютного упругого тела

Под действием внешней нагрузки абсолютно упругое тело де­формируется, при этом частицы сплошной среды тела перемеща­ются относительно неподвижной среды координат. Поле переме­щений частиц определяется векторной функцией

где U, V, W— функции проекции вектора перемещений S на оси Ox, Оу и Оz.

Согласно теореме Гельмгольца частицы сплошной среды в об­щем случае совершают поступательное, вращательное и деформа­ционное движения. Деформационное движение определяется тензором деформаций:

 

где £x,Ey,ez —относительные удлинения (линейные деформации) вдоль осей Ох, Оуи Oz соответственно; у^ = у у/, У„ =У„; Ууг = Yzy — углы сдвига (угловые деформации) в координатных плоскостях хОу, zOx, yOz, соответственно.

Компоненты тензора деформаций S выражаются через проек­ции векторной функции перемещений S с помощью формул Коши:

Относительное удлинение ех вдоль какого-либо направления, задаваемого единичным вектором у = li -t-m/ + nA в окрестности точки M(x0,y0,z0) можно определить с помощью компонентов тензора деформаций 5 следующим образом:

Чтобы получить полную картину деформации в точке M(l,m,n), необходимо:

1.       Вычислить компоненты тензора деформаций. Для этого в ре­зультаты вычислений по формулам (2.3) необходимо подставить вместо текущих координат числовые значения х = l, у = m, z = n.

2.       Записать тензор деформаций в точке М в виде числовой мат­рицы.

3.       Рассчитать относительное удлинение ей/ч по формуле (2.4)

4.       Графически изобразить схематично деформацию единичного куба в виде рисунков 3-х проекций куба на плоскости хОу, zOx, yOz с указанием полученных в результате расчетов знаков деформаций, как указано в качестве примера на рис. 2.1.

 

Рис. 2.1


Задача №4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследование напряженного состояния в точке абсолютно-упругого тела

Для определения напряженного состояния тела необходимо по величинам уже известных деформаций определить компоненты тензора напряжений Р и построить вектор полного напряжения, действующего по наклонной площадке, задаваемой единичным век­тором ОМ. Компоненты тензора Р вычисляются по формулам обобщенного закона Гука с использованием уже рассчитанных относительных деформаций.

— нормальные напряжения, действующие перпендику­лярно координатным плоскостям yOz, xOz, xOy соответственно. Индекс при о показывает ту координатную ось, которой это напря­жение параллельно; вектор положительного нормального напряже­ния совпадает с положительным направлением внешней нормали к площадке, вектор отрицательного нормального напряжения направ­лен против внешней нормали;

—касательные к площадке напряжения. Первый индекс в обозначении касательного напряжения соответствует оси, кото­рая является нормалью к плоскости, по которой действует напря­жение. Второй индекс обозначает ось, параллельно которой действу­ет касательное напряжение. Размерность напряжений — Н/м2.

Тензорное поле напряжений записывается в виде матрицы с численными значениями элементов:

Компоненты тензора имеют рассчитанные по формулам (2.5), (2.6) числовые значения в точке М.

Наклонная площадка проходит через точку М перпендикулярно вектору

единичной нормали ОМ с направляющими косину­сами 1, т, п. Поэтому эта площадка отстоит от нача­ла координат на расстоя­нии единицы длины и отсе­кает на координатных осях отрезки соответственно а, Ь, с, которые могут быть вычислены через 1, т, п

следующим образом: а = 1/1 на оси Ox, b = 1/m на оси Оу, с=1/л на оси Oz (рис. 2.2,а).

Если какая-либо из компонент 1, т, п равна нулю, то это означа­ет, что площадка соответствующую ось не пересекает, то есть па­раллельна ей. Чертеж наклонной площадки выполняется так, как

показано на рис. 2. 2, б. Найдем вектор полного напряжения рп в точ­ке М на данной наклонной площадке. Для этого вычислим проек­ции этого вектора через компоненты тензора напряжения (2.7) по формуле:

Вектор полного напряжения а точке М на наклонной поверхности равен:

При этом положительные проекции откладываются в выбранном масштабе, в положительном направлении оси отточки М, а отрица­тельные — в отрицательном направлении.

 

Произведем разложение вектора полного напряжения рп ,в точ­ке М на наклонной площадке на нормальное и касательное напря­жения.

Нормальное напряжение оп равно:

Величина касательного напряжения тп определяется по формуле:

На рис. 2.3 откладываем в выбранном масштабе положительное нормальное напряжение ап от точки М в положительную сторону

нормали ОМ , если отрицательно нормальное напряжение оп — то

против нормали ОМ . Затем с рис. 2.2 на рис. 2.3 переносится век­тор рn и достраивается параллелограмм напряжений

Таким образом изображается на рисунке вектор касательного напряжения тn, действую­щий на наклонной площадке, задаваемой п.

Примечание. Можно координатные оси, на­клонную площадку, вектора п, тn, ап и рn вы­полнять разными цветами или линиями раз­личной толщины. Все построения можно выполнить и на одном чертеже.

 

 

 

 

 

 

Задача №3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обобщенный закон Гука

Теория упругости устанавливает и определяет связь между напря­жениями и деформациями, возникающими в материале под действи­ем внешних сил. Эта связь осуществляется с помощью закона Гука.

Для изотропного упругого тела зависимость между деформаци­ями и напряжениями имеет более простую форму. Пусть прямоугольный параллелепипед вещества с ребрами, рав­ными единице, находится под действием нормальных растягиваю­щих напряжений  (см. рис. 5.2)

Опыт показывает, что в области упругих свойств напряжение и деформация пропорциональны между собой, т.е.

                                                                                                                                                        (5.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                

 

 

 

 

 

 

 

 

где Е — коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости и являющийся физической характеристикой упругих свойств материала. Однако, вместе с тем, эксперименты показывают, что удлине­ние под действием напряжения  вдоль оси z приводит к пропор­циональному укорочению вдоль двух других осей, т.е. (см. рис. 5.2)

                                                                                                                                                     (5.13)

где v — коэффициент пропорциональности, называемый коэффи­циентом Пуассона и являющийся физической характеристикой уп­ругих свойств материала, причем 0 < v < 0,5. Таким образом, при действии нормальных напряжений суще­ствуют два коэффициента пропорциональности Е и V.

Рассмотрим суммарную деформацию вдоль оси z от одновремен­ного действия сразу трех нормальных напряжений. Суммарная де­формация  будет складываться из трех деформаций, получаемых от действия сразу трех напряжений (см. рис. 5.2):

                                                                                                                                          (5.14)

где нижний индекс показывает, вдоль какой оси деформация, а вер­хний — от какого напряжения.

От действия напряжения получим деформацию вдоль оси z,

; от напряжения  получим; от напряжения получим .

Складывая все составляющие деформации ег, в (5.14) получим формулу для £ги, рассматривая аналогично для осей х и у, запишем:

 

Хорошо доказана экспериментально пропорциональность меж­ду касательными напряжениями и угловыми деформациями:

где G =  — модуль упругости при сдвиге, он, как минимум в 2 раза меньше, чем Е.

Формулы (5.16) выражают закон Гука при сдвиге. Все шесть выражений (5.15) и (5.16), определяющих связь меж­ду напряжениями и деформациями, носят название обобщенного закона Гука.

Примечание.

1.       Из формул (5.15) и (5.16) легко можно выразить величины на­пряжений через деформации.

2.       Формулы закона Гука применимы только в области упругих свойств материала.

 

Полная система уравнений теории упругости

Для решения задач теории упругости имеется полная система уравнений, которая включает в себя:

1.             Три уравнения равновесия, получаемые из уравнений движе­ния сплошной среды (см. (3.26)) при

где Fx об — проекция объемной силы на ось х.

2.             Шесть уравнений Коши связи перемещений и деформаций:

 

3.             Шесть уравнений обобщенного закона Гука связи напряжений и деформаций:

Всего имеем 15 уравнений, при заданных объемных силах, Е и v с пятнадцатью неизвестными:

Для однозначного решения системы в дополнение к системе дол­жны задаваться граничные условия на поверхности тела:

— на всей поверхности тела заданы поверхностные силы или за­даны перемещения;

— на части поверхности заданы поверхностные силы, а на ос­тальной перемещения.

Примечание. Система уравнений при заданных граничных ус­ловиях имеет единственное решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Динамика идеальной и вязкой жидкости.

Гидромеханикой называется наука о законах движения жидкости и о применении этих законов для решения технических задач.

Жидкость представляет собой сплошную среду, обладающую свойством текучести.

Текучесть — свойство сплошной среды изменять свою форму под действием сколь угодно малых сил.

Под действием собственного веса жидкость течет, если ей пре­доставляется возможность. Ее текучесть ограничивается вязкостью. Все реальные жидкости являются вязкими.

Вязкость — свойство жидкости сопротивляться сдвигу или сколь­жению ее слоев относительно друг друга.

В механическом смысле вязкость отвечает за трение в жидко­сти, т.е. приводит к безвозвратной потере, запасенной в движущей­ся жидкости механической энергии.

Рассмотрим движение слоя вязкой жидкости в направлении X относительно неподвижной стенки, лежащей в плоскости ZOX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если построить в масштабе вектора скоростей частиц жидкости, двигающихся в слоях через точки 1+5, и соединить концы векторов плавной линией, то мы получим эпюру скоростей. Согласно гипо­тезе Ньютона, которая блестяще была подтверждена опытами Ку­лона, а в 1883 году теоретически обоснована Н.П. Петровым, вели­чина касательного напряжения τxy между слоями пропорциональна градиенту скорости в поперечном направлении:

, где - градиент скорости (элемент тензора скоростей деформаций);

- динамический коэффициент вязкости, являющейся физической характеристикой жидкости.

 

Динамический коэффициент вязкости имеет следующие раз­мерности: в системе

СИ –; в СГС -  или Пуаз (Пз).

Широко используется кинематический коэффициент вязкости:

υ = μ / ρ

где ρ - плотность жидкости.

Размерность : в системе СИ - ; в СГС - или сток (ст).

Соотношение между единицами вязкости следующее:

 

Вязкость жидкостей уменьшается с ростом температуры соглас­но формуле:

где υ и υ0 – вязкость жидкости при температуре Т и Т0 соответственно;  - коэффициент, значение которого для масел колеблется в пределах 0,020,03

Жидкость выдерживает без существенного изменения ее фи­зических свойств большие сжимающие усилия, но неспособна со­противляться растягивающим усилиям.

 

Интеграл Бернулли для идеальной жидкости

Для получения уравнения, позволяющего решать технические задачи гидромеханики, получим выражение интеграла Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости. Интеграл Бернулли выражает закон сохранения механической энергии. Рассмотрим следующую модель идеальной жидкости:

1.   Жидкость идеальная, поэтому  = 0.

2.   Движение жидкости установившееся: .

 

3.   Объемные силы принадлежат потенциальному полю сил, т.е. Fоб = grad U, где U — потенциал поля объемных сил.

4.   Жидкость баротропна, т.е. плотность является функцией дав­ления  и существует функция давления, дифференциал ко­торой равен:

 

 

Рассмотрим линию тока, по которой движется частица жидко­сти. Перемещение частицы за промежуток времени dt будет равно отрезку

  или 

Уравнение движения частицы при сделанных выше допущени­ях будет уравнением Эйлера:

 

 

Домножим скалярно левую и правую части уравнения (7.18) на перемещение dl:

Подставив полученные выражения в уравнение, получим:

или 

откуда следует, что сумма

является величиной постоянной на данной линии тока, на другой линии тока величина постоянной будет уже другой. Выражение является интегралом Бернулли. Уравнение  представляет собой соотношения между приведенными си­лами, но, умножив их скалярно на перемещение dl, получили зна­чения приведенных энергий или работ этих сил, сумма которых на линии тока остается постоянной при движении идеальной жидкости по данной линии тока.

 

Пусть жидкость движется в поле сил тяжести земли, т.е. U = — gz, где g — ускорение свободного падения и ось Z направлена от центра земли, а плотность р = const, тогда

 

Умножив (7.21) на элемент массы dm = pdV, получим:

Выражение в явном виде показывает сумму энергий: кинетическая -  энергия сил давления – pdV;  энергия поля сил тяжести – dm g.

 

  

 

Уравнение Бернулли в напорах

В гидравлике принято удельную энергию выражать в напорах. Так, разделив на единицу веса частицы dm-g, получим соот­ношение энергий в метрах, которое называется полным напором в струе:

 где  - скоростной напор (м), мера кинетической энергии;  - пьезометрический напор (м) — мера энергии сил давления; z — гео­метрический напор (м) — мера энергии поля сил тяжести.

Рассматривая течение идеальной жидкости в трубопроводе, можно записать равенство полных напоров для двух сече­ний движущейся струи идеальной несжимаемой жидкости:

Выражение  представляет собой уравнение Бернулли для идеальной жидкости.

 

Величины Z, и Z2 в выражении есть расстояния от центров сечений струи до произвольно выбираемой плоскости, параллель­ной поверхности земли и называемой плоскостью сравнения.

Добавляя к уравнению Бернулли  уравнение неразрывнос­ти для неразветвленных трубопроводов:

 

 или 

где  — скорости жидкости в сечениях 1 — 1 и 2 — 2 соответствен­но; d,, d2 — диаметры сечений трубопровода; Q — объемный рас­ход жидкости в трубопроводе, мы получаем систему из двух необ­ходимых уравнений для решения задач гидравлики при течении иде­альной баротропной жидкости.

 

Режимы течения. Число Рейнольдса.

Как уже было сказано ранее, для реальных жидкостей вязкость v Ф О, т.е. имеет место трение, поэтому происходит потеря механи­ческой энергии потока при движении жидкости по трубопроводу. Следовательно, использовать уравнение для реальных жид­костей неправомерно.

В 1887 году О. Рейнольдс в опубликованной работе «Вихревое движение жидкости» показал, что существуют два принципиально различных режима течения жидкости. Подкрашивая струи жидко­сти, Рейнольдс показал, что существует режим движения жидко­сти (см. рис. а), когда она движется слоями, не перемешиваясь между собой.

 

 

 

 

 

 

                                         а)                                                                                     б)

Такой режим получил название ламинарного (от латинского сло­ва lamina — слой).

В другом режиме течения (см. рис. б) подкрашенная струйка двигается по причудливой траектории, дробясь на отдельные части. Этот режим получил название турбулентного (от  латинского слова turbulentus — беспорядочный). Рейнольдсом была введена безраз­мерная величина, впоследствии получившая его имя. Эта величина является критерием, с помощью которого можно определить харак­тер течения жидкости. Например, для труб круглого сечения

  или       где  — средняя скорость потока, определяемая по расходу; dдиаметр трубы;  — кинематический коэффициент вязкости;  динамический коэффициент вязкости.

Теоретическое значение числа Рейнольдса, которое соответ­ствует переходу ламинарного потока в турбулентный, равно Reкр=2320. Так, при Re < ReKp — течение ламинарное, при Re > ReKp — поток турбулентный. Каждый из режимов течения имеет свою эпюру скоростей в се­чении потока.

Для ламинарного потока эпюра скоростей представляет собой параболу Пуазейля (см. рис. а)

 

 

 

 

 

 

 

                                       а)                                                                            б)

Для круглой трубы концентрические тонкие слои движутся не перемешиваясь, причем скорость в центре трубы максимальная. Турбулентный поток (см. рис. б) состоит из тонкого при­стеночного слоя, называемого ламинарным подслоем, где скорос­ти движения малы. Так же из турбулентного ядра, где при хаотичном движении ча­стиц жидкости линейная скорость достаточно велика, а эпюра ско­ростей близка к прямолинейной, что сближает ее с эпюрой для иде­альной жидкости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вязкоупругие жидкости.

Основными объектами в науке реологии являются вязкоупругие и вязкопластичные материалы, которые обладают одновремен­но комбинацией вязких, упругих и пластичных свойств. Процессы, протекающие в таких материалах, при механическом воздействии связаны с необратимыми остаточными деформациями вследствие течения материала и упругого последействия. Реологией называет­ся раздел механики сплошных сред, который занимает промежу­точное положение между гидродинамикой и теорией упругости. Большое количество полиграфических материалов, таких, как де­кель, смолы, полимеры, клей и др., относятся к вязкоупругим мате­риалам и являются объектами изучения науки реологии.

 

Удобно вязкоупругие свойства материала трактовать при по­мощи наглядных механических моделей. Эти модели строятся из механических элементов, отражающих определенные свойства материала.

Свойство упругости материала моделируется с помощью пружи­ны с модулем упругости Е (см. рис. а), подчиняющейся строго закону Гука.

 

 

 

                         а)                                              б)

Вязкие свойства материала моделируются с помощью демпфе­ра (см. рис. б) с коэффициентом вязкости, который строго под­чиняется законам вязкого трения Ньютона:

 

 

где - напряжение на концах модели; - относительное удлинение модели, которое много меньше единицы;   - скорость относительной деформации модели; - вязкость материала.

Мы ограничимся лишь одномерными реологическими моделя­ми сплошных сред. Одномерность модели означает, что все упру­гие и вязкие элементы модели двигаются на схемах параллельно одной оси. Это означает, в частности, что концы произвольных уз­лов, соединенных между собой параллельно, должны двигаться оди­наково, т.е. все вертикальные линии на схемах в процессе движе­ния упругих и вязких элементов будут оставаться вертикальными, а сами элементы, соединенные параллельно, могут располагаться в любом порядке.

 

Ниже будут получены математические уравнения, описываю­щие поведение той или иной модели сплошной среды. Хотя реше­ние реологических уравнений и не составляет большой проблемы в век компьютеров, имеется возможность обойтись вообще без ре­шения уравнений. Для этого используется метод механической ана­логии: подбираются механические элементы, поведение которых описывается уравнениями, аналогичными уравнениям для упруго­сти и вязкости. Подбирая из механических элементов нужную мо­дель и измеряя прямо на опыте удлинения и силы, делают вывод о поведении сплошных сред в рамках выбранной модели.

 

Поскольку длина модели в направлении движения может быть произвольной, то для достаточно длинных моделей за некоторый промежуток времени часть упругих и вязких элементов уже сдви­нется под действием сил, а другие останутся в прежнем положении, так как волна деформаций до них еще не дошла из-за конечности скорости распространения волн деформации. Поэтому ограничим­ся рассмотрением случая коротких моделей, т.е. таких моделей, для которых выполняется условие:

 

 

где  — время распространения упругих волн деформации вдоль всей длины модели;  — скорость распространения упругих волн деформации вдоль участка модели длины ;  — характерное вре­мя для данной модели (если модель характеризуется нескольки­ми характерными временами, то в этом условии будет наимень­шее из них).

Физическим следствием этого условия будет то, что для корот­ких одномерных моделей на все элементы и узлы, соединенные между собой последовательно, будут действовать одинаковые на­пряжения в один и тот же момент времени. Поэтому порядок рас­положения элементов и узлов, соединенных последовательно, мо­жет быть любым, так как такие «соседи» двигаются независимо друг от друга и смещение одного из них никак не влияет на смещение других.

При изучении составных моделей будем использовать следую­щие принципы:

1. При параллельном соединении любых элементов очевидно, что деформации всех элементов одинаковы, а напряжение на концах такой составной модели равно сумме напряжений каждого из эле­ментов (модели одномерные).

2.   При последовательном соединении любых элементов напря­жения на элементах одинаковы (модели короткие), а деформация такой составной модели равна сумме деформаций всех элементов.

Основными экспериментами испытания вязкоупругих матери­алов являются испытания на ползучесть и релаксацию. Экспери­мент на ползучесть состоит в мгновенном приложении к образцу напряжения , которое затем остается постоянным, и исследуется деформация модели, как функция времени.

В экспериментах на релаксацию образец подвергается мгновен­ной деформации, которая затем остается постоянной, в то время как измеряется изменение напряжения, как функция времени.

 

Модель Максвелла

Последовательное соединение пружины и демпфера

Запишем систему уравнений, отражающую функциональную зависимость деформаций и напряжений в модели Максвелла, счи­тая, что и — напряжение и деформация в упругом элементе, и — в вязком элементе,  и  — на всей модели:

Дифференцируя по времени второе и третье уравнение в и подставляя производные деформаций во второе продифференци­рованное уравнение, с учетом первого, получим дифференциаль­ное уравнение:

которое является реологическим уравнением модели Максвелла. Испытание модели Максвелла на ползучесть.

Начальные условия следующие : при t > 0; а = а0. Решение дифференциального уравнения  при данных на­чальных условиях будет:

Следовательно, графически вид отклика модели на воздействие будет таким, как показано на графике e(t):

Как видно из рисунка, модель мгновенно реагирует на воздей­ствие, т.е. растягивается на величину , проявляя упругие свой­ства, и далее монотонно растягивается, причем угол наклона пря­мой равен .

Видно, что при модель Максвелла превращается в ньюто­новскую жидкость, т.е. в чисто вязкий материал, а при в чис­то упругий материал.

При испытании модели Максвелла на релаксацию начальны­ми условиями воздействия будут: при t > 0, . Тогда решением уравнения является выражение:

где  - постоянная модель Максвелла, имеющая размерность времени (сек).

Постоянная 0 называется временем релаксации, которая пока­зывает, за какое время величина отклика  уменьшится в е раз.

Графики воздействия и отклика модели показаны на рисунке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №8


Модель Фойгта

Параллельное соединение вязкого и упругого элементов.

Система уравнений связи деформаций и напряжений для моде­ли Фойгта имеет вид:

Подставляя третье и четвертое уравнения во второе, с учетом первого уравнения, получим:

Выражение есть дифференциальное уравнение связи де­формаций и напряжений в модели Фойгта. Материал, подчиняю­щийся данной модели, ведет себя совсем иначе, чем модель Макс­велла. При испытании на ползучесть, т.е. при задании воздействия t > 0, , решением уравнения будет:

где -постоянная модель Фойгта, имеющая размерность времени.

Однако в данном случае, являясь физической характеристикой модели,  характеризует время запаздывания модели на внешнее воздействие. Графики воздействия и отклика модели Фойгта при испытании на ползучесть представлены на рисунке:

 

 

 

 

При испытании модели Фойгта на релаксацию напряжений в начальный момент времени необходимо мгновенно растянуть мо­дель на величину е0. Однако воссоздать такой режим воздействия невозможно, т.к. слагаемое в уравнении при ступенчатом воз­действии должно принимать бесконечно большое значение. Поэто­му в модели Фойгта напряжение не релаксирует.


Задача №9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модель Кельвина

Приведенные выше модели можно усложнить, добавив третий элемент — упругий элемент к модели Фойгта. Такая модель вязко-упругой среды называется моделью Кельвина

 

 

 

Система уравнений связи деформаций и напряжений на концах модели Кельвина имеет следующий вид:

где— деформация и напряжение на модели Фойгта. Исключая из уравнений получим

Уравнение можно привести к виду:

Решением реологического уравнения модели Кельвина при испытании на ползучесть, т.е. при t > 0, , будет:

 

Решением при испытании на релаксацию напряжений, т.е. при t > 0, е = е0, является:

Графики воздействия и откликов модели Кельвина представле­ны на рисунках. Как видно из анализа вышеприведенных простейших моделей Максвелла, Фойгта и Кельвина, различные комбинации упругого и вязкого элементов позволяют по разному смоделировать истинное поведение вязкоупругих материалов, и варьируя в дальнейшем вяз­кими  и упругими Е — свойствами, подобрать их оптимальными для требуемых условий. Например, получив из экспериментов по­стоянную времени релаксации материала бумаги, можно оценить скорость печати, чтобы материал бумаги успевал полностью вос­становить свою форму перед новым циклом печати.

 

Hosted by uCoz